Simulation de variables corrélées
Le vecteur X des variables corrélées est caractérisé par son vecteur espérance mathématique , sa matrice de variance-covariance et l'ensemble des fonctions de répartition marginales PX1,..,PXn. La connaissance de ces dernières est souvent plus accessible que celle de la densité de probabilité conjointe.
Simulation de variables corrélées gaussiennes
A partir de la simulation d'un vecteur U à composantes gaussiennes centrées réduites et indépendantes, on construit une réalisation de X gaussien par
avec , où A est une matrice triangulaire inférieure obtenue par une transformation de Choleski.
Simulation de variables corrélées non gaussiennes
On utilise dans ce cas les transformations de Rosenblatt ou de Nataf. Ces dernières sont plus pratiques car elles ne requièrent pas de connaître les densités conditionnelles des variables. Connaissant simplement les densités de probabilité marginales de X1 et X2, il est possible d'exprimer leur densité conjointe par la relation
où Y1 et Y2 sont deux variables gaussiennes centrées réduites et de corrélation dite fictive, est la densité bi-normale centrée réduite.
La corrélation , déjà connue, entre X1 et X2 s'exprime alors par
relation dont on peut extraire la valeur de la corrélation fictive .
Des expressions approchées de ont été proposées par Der Kiureghian & Liu pour différentes lois de probabilité marginales. Ces propositions sont assujetties de quelques restrictions sur les coefficients de variations des variables X1 et X2 et sur la plage de valeurs de leur corrélation, en fonction des lois marginales. Notons que pour 2 variables lognormales, s'exprime de façon exacte par
La procédure de simulation d'une réalisation de X consiste alors à déterminer la matrice de covariance fictive , puis à simuler Y par avec et enfin à produire x1,..,xn par
