Chercher les racines carrées de Z=a+ib revient à chercher les nombres complexes z = x+iy qui vérifient z²=Z

z²=Z permet d'écrire

ce qui équivaut au système ci-dessous

L'égalité sur les modules permet d'écrire
ou

On obtient en utilisant les 3 relations ci-dessus le système suivant

Les équations (1) et (3) sont des équations en x² et y² ce qui entraîne une indétermination sur le signe de x et de y.

L'équation (2) nous permet de lever cette indétermination

b >0 x et y sont de même signe

b <0 x et y sont de signe contraire