Un troisième exemple de problème de flot conservatif : l'évacuation des eaux usagées
Description de l'exemple concret
Dans une ville importante, on considère le réseau de canalisation contenant les eaux usagées.
Toute canalisation est soit horizontale, soit en pente (généralement légère).
Une canalisation horizontale peut permettre une circulation dans un sens ou dans l'autre selon les besoins de l'évacuation globale des eaux usagées, un seul sens est utilisé, mais il peut changer en fonction des besoins.
Une canalisation en pente ne permet la circulation des eaux usagées que dans le sens de la descente.
Toute zone occupée par une habitation individuelle, un immeuble ou une entreprise est raccordée aux canalisations.
Pour simplifier la modélisation du réseau et diminuer le nombre de nœuds, on suppose qu'un groupe de maisons individuelles ou d'entreprises en bordure d'une canalisation peuvent être regroupées et apportent les eaux usées en un seul point de la canalisation qui correspondra donc à un nœud du réseau, de type source.
Chaque point de raccordement au réseau est donc une source de liquide (eaux usagées) dont on connaît le débit horaire en fonction d'un calendrier moyen estimé.
La quantité d'eau pouvant se déplacer dans un tronçon de canalisation est majorée par un débit horaire maximal.
Chaque heure, la quantité d'eaux usagées qui entre dans un nœud du réseau est égale à la quantité d'eaux usagées qui en sort (flot conservatif).
Les eaux usagées sont déversées dans des bassins de décantation où elles seront traitées.
Il peut y avoir plusieurs bassins de décantation qui constituent donc les puits du système. On suppose que leur capacité totale est suffisante pour recevoir l'ensemble des eaux usagées sans débordement.
Fondamental : Problèmes associés à ce réseau d'eaux usagées
Plusieurs problèmes concrets peuvent être associés à ce réseau d'eaux usagées où on considère une période du calendrier où les débits horaires sont connus et constants.
Comment les eaux usagées peuvent-elles se déplacer à travers le réseau tout en respectant les pentes, les capacités horaires d'écoulement et la conservation du flot en chaque nœud et selon les besoins, dans quel sens circulent les eaux usagées dans les tronçons horizontaux.
La capacité de l'ensemble des tronçons est-elle suffisante pour évacuer vers les puits toutes les eaux usagées amenées chaque heure par les sources pour une période donnée du calendrier.
Si la capacité est insuffisante, de quels tronçons doit-on augmenter la capacité pour qu'elle le devienne, de préférence de telle sorte que le coût des travaux soient le plus faible possible par rapport à cette période du calendrier.
Même problème, mais en supposant qu'en fonction du calendrier, ce ne sont pas les mêmes sources qui apportent le plus d'eaux usagées et on voudrait que les eaux usagées s'écoulent correctement quelques soient les configurations potentiels d'alimentation en eaux usagées par les sources (sachant que raisonner en débit moyen serait totalement absurde).
