Les graphes planaires
Définition : Graphe planaire / carte planaire
Un graphe G=(X,E) est dit planaire si et seulement si on peut trouver une représentation graphique de graphe sur un plan de telle sorte que les arcs ne se coupent pas.
Une telle représentation est appelée une carte planaire du graphe.
Dans une carte planaire, ou bien on travaille sur un graphe non orienté, ou bien on ne représente que par une seule flèche orientée dans les deux sens les deux arcs qui correspond à la même arête.
On ne représente pas non plus les boucles en un sommet.
Utilisez les flèches et le bouton plus grands ou plus petits pour faire tourner des graphes dont certains sont planaires et d'autres pas.
Il est à noter qu'il y a peu de graphes planaires parmi les graphes de taille 10 (identiques à ceux utilisés dans de nombreuses autres animations).
Il n'y a pas unicité des représentations graphiques.
De même, il n'y a pas unicité des cartes planaires (qui sont des cas particuliers de représentations graphiques).
En cliquant sur suivant au début des petits graphes, le même graphe est considéré trois fois avec deux représentations graphiques différentes et avec deux cartes planaires différentes.
En clliquant sur suivant au début des grands graphes, le même graphe est considéré deux fois avec la même représentation graphique et deux cartes planaires différentes.
Il est à noter que la symétrie de ces exemples intervient fortement dans le fait qu'il existe de nombreuses représentations planaires différentes.
De ce fait, même quand on change la carte planaire, on ne change pas toujours dans ce cas la liste des faces (voir la définition des faces ci-dessous).
Remarque :
On peut également s'intéresser à la même notion, mais sur une surface sphérique.
Définition : Faces d'une carte planaire
Etant donnée une carte planaire, on appelle face une partie ouverte du plan éventuellement infinie qui ne contient ni sommets, ni arcs, ni arêtes et dont la frontière est constituée d'arêtes et de sommets.
Fondamental : Théorème de Euler
Etant donnée une carte planaire, on a : nf + ns + na = nc + 1,
où
nf est le nombre de faces,
ns est le nombre de sommets,
na est le nombre d'arêtes
nc est le nombre de composantes connexes.
