Ch.4 L'Estimation Statistique

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Statistiques > Ch.1: Probabilités et Variables Aléatoires Ch.2: La Loi Normale Ch.3: Le Contrôle Statistique Ch.4: L'Estimation Statistique Ch.5: Comparaisons Statistiques Ch.6: Faits et Modèles Ch.7: La Régression Linéaire Ch.8: L'Expérimentation Statistique

L'Estimation Statistique

Le problème traité dans ce chapitre est le suivant: on se trouve en présence d'un échantillon et l'on cherche à déterminer explicitement la loi de probabilité définissant la population de référence dont ces observations peuvent être considérées comme issues. Nous admettrons spécifiée la forme analytique de la loi de probabilité que suivent les observations. Dans ces conditions, on se trouve conduit à estimer les paramètres θ₁, θ₂,... de la loi de probabilité p(x ; θ₁, θ₂, ...) à partir de l'échantillon observé x₁, x₂, ..., x_n, c'est à dire à tirer de cet échantillon une information concernant la valeur des paramètres inconnus. Il s'agit de plus de pouvoir émettre un jugement sur la qualité de cette information

1 - Estimateur et Intervalle de Confiance

Loi des Grands Nombres

Considérons une suite de variables aléatoires X₁, ..., X_i, ..., X_n indépendantes, et ayant toutes la même loi de probabilité qu’une variable aléatoire X. La loi de probabilité de X peut être quelconque de moyenne E(X) = μ et de variance σ²

Soit M_n = 1/n (X₁ + ... + X_i + ... + X_n) la moyenne arithmétique des variables X₁, ..., X_i, ..., X_n.

Nous avons calculé au chapitre précédent sa moyenne E(M_n) = μ et sa variance σ²(M_n) = σ²/n.

Soit ε un nombre choisi arbitrairement aussi petit que l’on veut. En utilisant l’inégalité de Bienaymé-Tchebichef, on peut écrire que:

Prob{|Mn-μ| > ε} < σ²/(nε²)

et, en posant σ²/(nε²) = η, on voit qu’étant donnés ε et η aussi petits qu’on le veut, il est possible de trouver un nombre N = σ²/(ηε²) tel que n ≥ N entraîne:

Prob{|Mn-μ| > ε} < η

C’est la loi des grands nombres que l’on peut encore énoncer ainsi: quand n augmente, la moyenne M_n converge en probabilité vers l’espérance mathématique de X. Il est important de bien prendre conscience de la différence entre la notion de convergence classique et celle, toute nouvelle, de convergence en probabilité.

Dire que M_n tend au sens classique vers μ, ce serait dire qu’on peut déterminer n tel qu'étant donné ε aussi petit qu’on veut:

|Mn-μ|≤ ε

Dire qu’il y a convergence en probabilité, c’est dire que l’événement {|M_n-μ| ≤ ε} n’est pas certain, mais que sa probabilité peut être rendue aussi voisine de 1 qu’on le veut, à condition que n soit suffisamment grand:

Prob{|Mn-μ|≤ε} ≥ 1-η

On peut l’illustrer par la figure suivante: quand n augmente, la distribution de M_n se resserre autour de μ .

Estimation et Estimateur

Pour simplifier la suite de l’exposé, nous supposerons que la loi de référence à déterminer dépend d’un seul paramètre θ. Le problème se réduit donc à déterminer une fonction des observations: θ* (x₁, x₂, ... , x_n), aussi voisine que possible de la valeur vraie θ qui est inconnue. On dit alors que θ* est une estimation de θ.

On peut utiliser, pour résoudre ce problème, la notion d’estimateur. Etant donné une variable aléatoire T_n (X₁, X₂, ... , X_n) fonction des variables aléatoires X₁, X₂, ... , X_n, on dit qu’elle constitue un estimateur de θ si:

• son espérance mathématique tend vers θ quand n augmente indéfiniment: E(T_n) →_n→∞θ
• sa variance tend vers 0 quand n augmente indéfiniment: E[T_n-E(T_n)]² →_n→∞0

Dans le cas particulier où E(T_n) = θ quel que soit n, l’estimateur T_n est dit sans biais.

Estimateur et Convergence en Probabilité

Pour éclairer la compréhension de la définition d’un estimateur, on peut la rapprocher de celle de la convergence en probabilité.

Un estimateur T_n est dit convergent, si T_n converge en probabilité vers θ, quand n augmente indéfiniment, c’est-à-dire si, étant donnés deux nombres ε et η aussi petits qu'on le veut, il est possible de déterminer un nombre N tel que n > N entraîne:

Prob{|Tn-θ| > ε} < η

On a l’important résultat: un estimateur T_n dont l’espérance mathématique tend vers θ et dont la variance tend vers 0, quand n augmente indéfiniment, est convergent. La démonstration qui suit peut être omise.

D’après l’inégalité de Bienaymé-Tchebichef, on a la relation:

Prob{|Tn-E(Tn)| < ε/2} > 1-4(σ²(Tn))/ε²

et a fortiori:

Prob{|Tn-θ| < ε/2 + |θ-E(Tn)|} > 1-4(σ²(Tn))/ε²

Puisque E(T_n) converge vers θ au sens ordinaire de l’analyse, on peut trouver un nombre N₁ tel que:

|E(Tn)-θ| < ε/2 pour n > N1

soit, pour une telle valeur de n:

Prob{|Tn-θ| < ε/2 + ε/2 } > 1-4(σ²(Tn))/ε²

Or, puisque σ² (T_n) tend vers 0 quand n augmente indéfiniment, on peut trouver un nombre N₂ tel que:

σ²(Tn) < (ηε²)/4 pour n>N2

Par suite, pour n supérieur au plus grand des deux nombres N₁ et N₂ , on aura:

Prob{|Tn-θ|> ε} < η

Ce critère permet de définir l’efficacité d’un estimateur: un estimateur est d’autant plus efficace que sa variance est plus petite.

Intervalle de Confiance d’une Estimation

Il reste maintenant à définir la précision de l’estimation. Considérons, pour cela, la distribution de la variable aléatoire T_n . Si nous convenons de considérer comme négligeable un certain seuil de probabilité α, nous pouvons déterminer un intervalle [θ-ε₁, θ+ε₂] tel qu’il lui corresponde la probabilité (1-α).

Il résulte de la définition même de cet intervalle que l’on a la probabilité (1 - α) d'observer l'évènement {θ-ε₁ ≤ T_n ≤ θ+ε² }.

Cela étant, chaque fois que cette double inégalité est vérifiée, c’est-à-dire dans la proportion (1 - α) des cas, la double inégalité:

Tn-ε² ≤ θ ≤ Tn+ε1

est, elle aussi, vérifiée. L’intervalle [T_n-ε², T_n+ε₁] est ainsi un intervalle aléatoire auquel peut être associée la probabilité (1 - α) de recouvrir la vraie valeur inconnue de θ:

Prob{ Tn-ε² ≤ θ ≤ Tn+ε1 } = 1-α

Si maintenant, nous observons les résultats de l’échantillon effectivement prélevé et calculons la valeur θ* de T_n pour cet échantillon, l’intervalle [θ*-ε², θ*+ε₁] est appelé intervalle de confiance de l’estimation de θ, au seuil de probabilité (1 - α).

Remarquons qu’il y a une infinité de façons de répartir la probabilité α, dont l’une correspond à un intervalle minimal, mais qui n’est pas toujours facile à déterminer en pratique. C’est pourquoi on convient généralement de répartir α par moitié de part et d'autre de l’intervalle. Cette répartition donne lieu à l’intervalle minimum dans le cas particulier où la densité de probabilité est symétrique et décroît pour des valeurs qui s'éloignent de θ.

Estimation d’une Proportion

Considérons une population qui contient une proportion ϖ inconnue de pièces défectueuses. La variable aléatoire K_n, nombre de pièces défectueuses dans un échantillon de taille n, suit une loi binomiale de moyenne n ϖ et de variance n ϖ (1-ϖ). Si nous considérons maintenant la variable fréquence K_n/n , elle a pour moyenne ϖ et pour variance (ϖ⁢(1-ϖ))/n.

K_n/n a donc les propriétés d’un estimateur sans biais de ϖ (E(K_n/n)=ϖ) et convergent (σ²(K_n/n) →_n→∞0). Pour estimer ϖ, il suffit donc, ayant prélevé un échantillon de taille n dans la population, de calculer le nombre k_n de pièces défectueuses puis:

 ϖ* = kn/n

Pour déterminer l’intervalle de confiance, au risque α, de cette estimation, soient c₁(ϖ) et c₂(ϖ) les nombres tels que pour chaque valeur possible de ϖ:

α/2 ≤ ∑k=0c1 Cnk ϖk (1-ϖ)n-k  et  α/2 ≤ ∑k=c2∞ Cnk ϖk(1-ϖ)n-k

Il est alors possible de construire le graphe ci-dessous en portant ϖ en abscisse et c₁(ϖ)/n ou c₂(ϖ)/n en ordonnée. La surface comprise entre les deux courbes est ainsi le lieu des valeurs possibles de k/n pour l’ensemble des valeurs possibles de ϖ, lorsqu’on néglige le seuil de probabilité α.

Lisant maintenant le graphique suivant l’horizontale d’ordonnée ϖ* = k/n , on peut immédiatement obtenir l’intervalle de confiance [ϖ₁, ϖ₂] correspondant à cette estimation.

Estimation d’une Moyenne

Etant donnée une population de moyenne μ inconnue et de variance σ² connue, soit M_n la variable aléatoire moyenne d’un échantillon de taille n. On a montré que E(M_n) = μ et σ² (M_n) = σ²/n . M_n constitue donc un estimateur sans biais et convergent de μ. Par conséquent, ayant prélevé un échantillon, sa moyenne est une estimation de μ:

m = μ*

Si ce résultat est absolument général et qu’il est, en particulier, indépendant de la forme analytique de la loi de probabilité suivie par les observations, la détermination d’un intervalle de confiance nécessite la connaissance de cette forme. Admettons qu’il s’agisse d’une loi normale, de variance σ² connue.

Il en résulte que M_n suit aussi une loi normale de moyenne μ et d’écart-type σ/√n . Etant donné un seuil de probabilité α, on peut écrire:

Prob{μ - uα/2 x σ/√n < Mn < μ + uα/2 x σ/√n } = 1-α

où u_α/2 est lu dans la table de la loi normale réduite de telle façon que:

Prob{|U|> uα/2 } = α

L’intervalle de confiance de μ est donc:

μ* - uα/2 σ/√n < μ < μ* + uα/2 σ/√n

Bien souvent la variance σ² n’est pas connue. Nous verrons, dans la suite du chapitre, comment procéder dans ce cas. Notons que le théorème central limite permet de généraliser ces résultats à une loi de probabilité quelconque, mais à condition que n soit suffisamment grand (quelques dizaines en pratique).

Estimation d’une Variance

Soit une population quelconque de variance inconnue. Soit S_n² la variable aléatoire: variance d'un échantillon de taille n, qui s’écrit:

Sn² = 1/n ∑i=1n (Xi-Mn)²

où M_n désigne la variable aléatoire moyenne. On peut encore écrire:

Sn² = 1/n ∑i=1n [(Xi-μ)-(Mn-μ)]²

et, en développant le carré (moyenne des carrés moins carré de la moyenne):

Sn² = 1/n ∑i=1n (Xi-μ)²-(Mn-μ)²

Calculons, sous cette dernière forme, E(S_n²). Il vient, compte tenu de la linéarité de l'opérateur Espérance:

E(Sn²) = 1/n ∑i=1n E[(Xi-μ)²]-E[(Mn-μ)²]

et, en notant que E[(X_i-μ)²] et E[(M_n-μ)²] sont respectivement les variances de X_i et de M_n:

E(Sn²) = σ²-σ²/n = (n-1)/n σ²

On pourrait montrer, d’autre part, mais les calculs sont assez laborieux, que:

σ²(Sn²) = (n-1/n)² × μ4-σ4/n + 2(n-1)/n3 σ4

où μ₄ désigne le moment centré d’ordre 4, E[(X_i-μ)⁴].

Il en résulte que S_n² est un estimateur convergent de σ², mais qu’il n’est pas sans biais. Le passage à un estimateur sans biais ne présente toutefois aucune difficulté. Il suffit de considérer la quantité: n/(n-1) S_n² dont l’espérance mathématique est:

E(n/(n-1) Sn²) = n/(n-1) E(Sn²) = σ²

Nous noterons, par la suite σ*² cette estimation sans biais de σ²:

σ*² = n/n-1 s² = 1/(n-1) x ∑i=1n (xi-m)²

qui est calculée par presque toutes les calculettes effectuant des calculs statistiques. Le calcul de l’intervalle de confiance, dans le cas d’une population normale, nécessite la connaissance préalable d’une nouvelle loi d’échantillonnage que nous allons établir maintenant.

2 - Intervalle de confiance de la variance inconnue d'une population normale

Loi du χ²

Soient U₁, U₂, ... , U_ν, ν variables aléatoires indépendantes qui suivent des lois normales réduites. Posons:

χν² = U1² + U2² + ... + Uν² 

La variable χ_ν² suit une loi appelée loi du χ² (khi deux) à ν degrés de liberté. Nous allons établir la forme analytique de cette loi qui joue un rôle essentiel en statistique, et dont il faut retenir la définition, mais le calcul qui suit n’est, quant à lui, pas essentiel.

Nous nous proposons de déterminer la loi de probabilité de la variable χ_ν² ; mais nous allons d'abord déterminer la loi de probabilité de la variable χ_ν, c’est-à-dire que nous allons calculer la probabilité pour que χ_ν se trouve compris dans l’intervalle [c, c+dc].

La probabilité pour qu’on ait à la fois:

u1 ≤ U1 < u1+du1 , u2 ≤ U2 < u2+du2, ... et uν ≤ Uν < uν+duν

s’écrit, U₁, U₂, ... , U_ν étant indépendantes:

1/2√π e-u1²/2 du1 × ... × 1/2√π e-uν²/2 duν = 1/(2π)ν/2 e-1/2 (u1² + ... + uν²) du1 du2 ... duν

Ce résultat peut s’interpréter géométriquement de manière très simple. Considérons, dans l'espace à ν dimensions, le point P de coordonnées (U₁, U₂, ... , U_ν). La probabilité pour que P tombe à l’intérieur d’un certain volume dv défini autour du point P est:

1/(2π)ν/2 e-1/2 OP⇀² dv

Dans ces conditions, la probabilité pour que la variable χ_ν soit comprise entre les deux valeurs c et c+dc est égale à la probabilité pour que P tombe dans la région comprise entre les deux sphères de centre O et de rayons c et c+dc. Or la densité de probabilité est constante dans cette région et elle est égale à:

 1/(2π)ν/2 e-c²/2

D’autre part, le volume de la sphère de centre O et de rayon c est de la forme k cν où k est une certaine constante, si bien que le volume compris entre les deux sphères de rayons c et c+dc est égal à: dv = k ν c^ν-1 dc. On obtient finalement:

Prob{c ≤ χν < c+dc} = kν/(2π)ν/2 c(ν-1) e-c²/2 dc

Pour obtenir, maintenant, la loi de probabilité de la variable χ_ν², faisons le changement de variable x = c². On obtient:

Prob{x ≤ χν² < x+dx} = kν / 2.(2π)ν/2 x(ν/2-1) e-x/2 dx

qui définit la loi de probabilité cherchée, à la constante k près. Pour calculer cette constante, on peut écrire que: Prob{ χ_ν² ≥ 0} = 1, soit:

kν / 2.(2π)ν/2 ∫0∞ x(ν/2-1) e-x/2 dx = 1

d’où finalement l’expression de la loi du χ²:

Prob{x ≤ χν² < x+dx} = (x(ν/2-1) e-x/2)/(∫0∞ x(ν/2-1) e-x/2dx)dx

Notons qu’on définit en mathématiques les fonctions Γ (gamma) dont les équations sont de la forme: Γ(a) = ∫₀^∞ x^a-1 e^-x dx, où a est une constante positive. L’intégrale au dénominateur de l’expression de la loi de probabilité du χ² peut alors s’écrire:

∫0∞ x(ν/2-1) e-x/2 dx = 2(ν/2) Γ(ν/2),

et on peut la calculer à partir des valeurs des fonctions Γ.

Il existe des tables de la loi du χ² qui donnent généralement, pour chaque valeur du nombre ν de degrés de liberté, la valeur x telle que: Prob{ χ_ν² > x} = α, où α est une probabilité donnée: 1 %, 5 %, ... Il est par conséquent inutile de retenir la formule de la loi du χ² . Par contre, il est indispensable de connaître les propriétés suivantes de la loi du χ² .

1. Sommes de variables suivant des lois du χ²

   Si χ₁² et χ₂² sont deux variables indépendantes qui suivent des lois du χ² respectivement à v₁ et v₂ degrés de liberté, leur somme (χ₁² + χ₂²) suit une loi du χ² à (v₁ + v₂) degrés de liberté. Cela résulte immédiatement de la définition de la loi du χ² .

2. Moyenne et variance d’une variable qui suit une loi du χ²

   La moyenne d’une variable suivant une loi du χ² à ν degrés de liberté est égale à ν et sa variance est égale à 2ν. En effet, U étant une variable centrée réduite, sa variance est σ(U²) = E(U²)-[E(U)]² = 1 et, d’autre part, l’espérance d’une somme est égale à la somme des espérances, d’où:

   E(χν²) = E(U1²)+ E(U2²) + ... + E(Uν²) = ν.

   Pour calculer la variance, on sait que la variance d’une somme de variables indépendantes est égale à la somme des variances:

   σ²(χν²) = σ²(U1²)+ σ²(U2²) + ... + σ²(Uν²) = ν σ²(U2)

   et que la variance est égale à l’espérance du carré moins le carré de l’espérance:

   σ²(U2) = E(U4) - [E(U2)]²

   Enfin, on montre facilement, en intégrant par parties, que:

   E(U4) = ∫-∞+∞ u4 e-u²/2 du = 3
   
   	 σ² (χν²) = ν(3-1) = 2ν.

Loi de la variance d’un échantillon extrait d’une population normale dont l'écart-type est connu

Nous allons, en fait, chercher la loi de la quantité: ∑_i=1ⁿ (X_i- M_n)² qui figure au numérateur de la variance et établir un résultat dont on pourra déduire immédiatement l'intervalle de confiance d'une variance. La démonstration peut être omise, mais les résultats suivants sont importants.

Etant donné un échantillon de taille n qui est extrait d’une population normale de variance égale à σ² , la variable aléatoire:

1/σ² ∑i=1n (Xi- Mn)²

suit une loi du χ² à (n-1) degrés de liberté. D’autre part, les variables M_n et ∑_i=1ⁿ (X_i- M_n)² sont des variables indépendantes. Cette dernière propriété sera utilisée un peu plus loin.

Nous avons montré, au cours de ce chapitre, que l’on peut écrire:

∑i=1n (Xi- Mn)² = ∑i=1n Xi² - n Mn²

Soit alors P le point de coordonnées (X₁, X₂, ... , X_n), et soient (Y₁, Y₂, ... , Y_n) ses nouvelles coordonnées après un changement de coordonnées orthonormales, que nous allons choisir tel que la coordonnée Y_n soit justement égale à √n M_n. Dans ces conditions, ∑_i=1ⁿ X_i² - n M_n² sera égal à ∑_j=1^n-1 Y_i² , c’est-à-dire à la somme de (n-1) variables, dont nous allons montrer qu’elles sont indépendantes et qu’elles ont même variance σ² .

Ces conditions sont réalisées si l’axe des Y_n est choisi passant par le vecteur unitaire dont toutes les coordonnées sont égales à 1/√n dans l’ancien système d’axes. Les nouvelles coordonnées de P s’écrivent:

Y1 = a11X1 + ... + ai1Xi + ... + an1 Xn
...
Yj = a1j ⁢ X1 + ... + aijXi + ... + a1j ⁢ Xn
...
Yn-1= a1n-1 X1 + ... + ain-1Xi + ... + ann-1 Xn
Yn = 1/√n X1 + ... + 1/√n Xi + ... + 1/√n Xn

Les a_i^j sont déterminés d’une infinité de façons par les relations:

a1j/√n + ... + aij/√n + ... + anj/√n = 0
a1i a1j + ... + aii aij + ... + ani a1j = 0
(a1j)² + ... + (aij)² + ... + (a1j)² = 1

Dans ces conditions, on montre facilement que les nouvelles variables Y_j suivent des lois normales, indépendantes, centrées et d’écart-type σ puisque: E(Y_j) = 0, E(Y_j Y_j') = 0 et E[(Y_j)²] = σ² . On a, d’autre part: ∑_j=1ⁿ Y_j² = ∑_i=1ⁿ X_i² puisqu’il s’agit d’un changement de coordonnées orthonormales. Comme Y_n a été choisi de telle sorte que: Y_n² =n M_n² , la variable:

∑i=1n (Xi- Mn)²/σ²  = 1/σ² ∑i=1n Xi²-nMn²

peut s’exprimer en fonction des carrés de (n-1) variables normales, réduites, indépendantes:

∑i=1n (Xi- Mn)²/σ² = ∑j=1n-1 (Yj/σ)²

Elle suit donc une loi du χ² à (n-1) degrés de liberté. Et la variable Y_n étant indépendante des variables Y₁, ... , Y_n-1, M_n et ∑_i=1ⁿ (X_i- M_n)² sont des variables indépendantes.

Intervalle de confiance de la variance inconnue d'une population normale

Soit une population normale de variance σ² inconnue. La variable aléatoire 1/σ² ∑_i=1ⁿ (X_i- M_n)² suit une loi du χ² à (n-1) degrés de liberté.

Se fixant un seuil de probabilité α, il est possible de déterminer l’intervalle [χ₁², χ₁²] tel que:

χ1² < 1/σ² ∑i=1n (Xi- Mn)² < χ2² avec la probabilité (1-α)

On en déduit l’intervalle de confiance pour σ², au risque α:

1/χ2² ∑i=1n (xi-m)² < σ² < 1/χ1² ∑i=1n (xi-m)²

ou encore:

ns²/χ2² < σ² < ns²/χ1²

3 - Intervalle de confiance de la moyenne inconnue d'une population normale d'écart-type inconnu

Loi de Student

Considérons (ν+1) variables aléatoires normales, réduites, indépendantes entre elles. Désignons les par U, U₁ , ..., U_i , ..., U_ν. La variable:

Tν = U / √(1/ν ∑i=1ν Ui²)

suit, par définition, une loi de Student à ν degrés de liberté. En remarquant que: ∑_i=1^ν U_i² suit une loi du χ² à ν degrés de liberté, on peut encore écrire T_ν sous la forme:

Tν = U / √(χν²/ν)

où U et χ_ν² sont des variables indépendantes qui suivent respectivement une loi normale réduite et une loi du χ² à ν degrés de liberté.

Pour ν = 1, la loi de Student s’identifie à une loi appelée la loi de Cauchy connue pour n’avoir ni moyenne, ni variance finies. On montre d’autre part que, lorsque ν → ∞, la loi de Student tend vers une loi normale réduite. Mais, pour ν fini, elle est plus étalée que la loi normale, sa variance (pour ν > 2) étant égale à ν/(ν-2) >1.

Il existe des tables donnant, pour un nombre de degrés de liberté donné, et pour des seuils de probabilité α fixés les valeurs t telles que: Prob{|T| > t} = α.

Loi de la moyenne d’un échantillon extrait d’une population normale d’écart-type inconnu

En notant σ*² l’estimateur sans biais de σ²:

σ*² = n/(n-1) s² = 1/(n-1) ∑i=1n (xi-m)²

nous allons montrer que la quantité:

t= m-μ / (σ*/√n)

est une réalisation d’une variable de Student à (n-1) degrés de liberté. En effet, la variable:

U= Mn-μ / (σ/√n)

suit une loi normale réduite puisque, si les X_i suivent une loi normale de moyenne μ et d'écart-type σ, M_n suit une loi normale de moyenne μ et écart-type σ/√n . D’autre part, la variable:

χn-12 = 1/σ² ∑i=1n (Xi-Mn)²

suit une loi du χ² à (n-1) degrés de liberté. Et ces deux variables sont indépendantes. Donc, la variable:

suit une loi de Student à (n-1) degrés de liberté.

Intervalle de confiance de la moyenne inconnue d’une population normale d’écart-type inconnu

Soit t_α/2 la valeur lue dans la table de Student à (n-1) degrés de liberté, correspondant au risque α réparti symétriquement. Il résulte immédiatement de ce qui précède que l'intervalle de confiance, au risque α, de la moyenne inconnue μ (avec μ*=m, son estimation) est le suivant:

μ* - tα/2 σ*/√n < μ < μ* + tα/2 σ*/√n

expression dont la forme est la même que celle de l’intervalle de confiance établi dans le cas où l’écart-type σ est connu:

μ* - uα/2 σ/√n < μ < μ* + uα/2 σ/√n